Lexikon der Mathematik: Chern-Klassen
Invarianten von komplexen Vektorbündeln.
Eine Chern-Klasse ist die Kohomologieklasse
\begin{eqnarray}{c}_{k}(V):=W({f}_{k}(F))\end{eqnarray}
In verschiedenem Kontext werden Chern-Klassen auch verschieden definiert:
Im topologischen Kontext sollen jedem komplexen Vektorbündel E → X Klassen ci(E) ∈ H2i(X, ℤ), i = 1, 2 … zugeordnet werden so, daß folgende drei Bedingungen erfüllt sind: \begin{eqnarray}c(E)=c({E}^{^{\prime} })c({E}^{^{\prime\prime} })in{H}^{* }(X,{\mathbb{Z}}).\end{eqnarray}
Diese Bedingungen gewährleisten die Eindeutigkeit von Chern-Klassen. Um die Existenz zu gewährleisten, muß man einige Voraussetzungen über die zugelassenen topologischen Räume machen (lokal kompakt, im Unendlichen abzählbar, endlich-dimensional).
In der algebraischen Geometrie gibt es folgende Verfeinerung, wenn man sich auf glatte algebraische Varietäten X über einem Körper und holomorphe Bündel beschränkt: Chern-Klassen sind für beliebige kohärente Garben definiert, sie liegen im Chowring A*(X) und erfüllen Bedingung (i) (für Morphismen f von algebraischen Varietäten), (ii) für beliebige kohärente Garben und (iii) (für ℙ1 (k) und das Bündel \({{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{P}}}^{1}(k)}(1)\)).
Chern-Klassen sind die wichtigsten numerischen Invarianten von Bündeln oder Garben und gehen wesentlich in die Formulierung von Indextheoremen ein.
Im Falle kompakter orientierter Mannigfaltigkeiten oder kompletter algebraischer Varietäten erhält man aus ihnen die Chern-Zahlen (H2n (X, ℤ) = ℤ, wenn 2n = dim X, bzw. im Falle n-dimensionaler algebraischer Mannigfaltigkeiten hat man eine kanonische Abbildung An (X) → ℤ, Produkte \({c}_{{i}_{1}}\ldots {c}_{{i}_{r}}\) mit i1 + … + ir = n liefern also ganze Zahlen).
Für algebraische Varietäten über ℂ hat man einen Vergleichshomomorphismus A*(X) → H*(Xh, ℤ), bei dem die algebraische Chern-Klassen in die topologischen übergehen.
Aus den Chern-Klassen gewinnt man den Chern-Charakter
\begin{eqnarray}\text{ch}(E)\in {H}^{* }(X,{\mathbb{Q}})\,{\rm{bzw}}.\,{A}^{* }(X)\otimes {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}
(im algebraischen Fall) mit der Eigenschaft ch(L) = exp(c1(L)) für Geradenbündel L (die Exponential-reihe bricht ab im Ring H*(X, ℚ) oder A*(X) ⊗ ℚ), und für exakte Folgen\begin{eqnarray}0\to {E}^{^{\prime} }\to E\to {E}^{^{\prime\prime} }\to 0\end{eqnarray}
ist\begin{eqnarray}{\rm{ch}}(E)={\rm{ch}}({E}^{^{\prime} })+{\rm{ch}}({E}^{^{\prime\prime} }).\end{eqnarray}
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