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Lexikon der Mathematik: Christoffel-Schwarz-Formel

Formel zur expliziten Darstellung gewisser konformer Abbildungen.

Vorgelegt sei ein Polygon mit Ecken A1,…,An und zugehörigen Winkeln πα1,…,παn, wobei 0 < αv ≤ 2 für v = 1,…,n.

Gesucht ist eine konforme Abbildung der oberen Halbebene der komplexen Zahlenebene auf das Innere dieses Polygons, wobei noch vorgegebene Punkte av auf die Ecken Av abgebildet werden sollen. Eine Lösung dieses Problems wird gegeben durch die Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(z)={c}_{1}+{c}_{2}\displaystyle \underset{{z}_{0}}{\overset{z}{\int }}\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{(\zeta -{a}_{v})}^{{\alpha }_{v}-1}d\zeta, &\end{array}\end{eqnarray} wobei c1, c2 und z eindeutig bestimmte Parameter sind. Die rechte Seite von (1) heißt Christoffel-Darboux-Formel. Es existieren auch verschiedene Modifikationen dieses Verfahrens für Kreisgebiete oder Kreisringe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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