Formel zur expliziten Darstellung gewisser konformer Abbildungen.

Vorgelegt sei ein Polygon mit Ecken A₁,…,A_n und zugehörigen Winkeln πα₁,…,πα_n, wobei 0 < α_v ≤ 2 für v = 1,…,n.

Gesucht ist eine konforme Abbildung der oberen Halbebene der komplexen Zahlenebene auf das Innere dieses Polygons, wobei noch vorgegebene Punkte a_v auf die Ecken A_v abgebildet werden sollen. Eine Lösung dieses Problems wird gegeben durch die Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(z)={c}_{1}+{c}_{2}\displaystyle \underset{{z}_{0}}{\overset{z}{\int }}\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{(\zeta -{a}_{v})}^{{\alpha }_{v}-1}d\zeta, &\end{array}\end{eqnarray} wobei c₁, c₂ und z eindeutig bestimmte Parameter sind. Die rechte Seite von (1) heißt Christoffel-Darboux-Formel. Es existieren auch verschiedene Modifikationen dieses Verfahrens für Kreisgebiete oder Kreisringe.