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Lexikon der Mathematik: Christoffelsymbole

lokale, von einer Parameterdarstellung abhängende Größen der inneren Geometrie.

Es sei Φ(u1, u2) eine Parameterdarstellung einer Fläche. Dann bilden die partiellen Ableitungen Φ1 = ∂Φ/∂u1, Φ2 = ∂Φ/∂u2 eine Basis des Tangentialraumes, die von dem Einheitsnormalenvektor n = Φ1 × Φ2/|Φ1 × Φ2| zu einer Basis des ℝ3 ergänzt wird.

Die Christoffelsymbole \({\Gamma }_{jk}^{i}(i,j,k=1,\,2)\) sind dann die sechs Koeffizienten der Darstellungen der senkrechten Projektionen der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung Φij = ∂2Φ/∂uiuj auf den Tangentialraum in der Basis {Φ1, Φ2, n}. Genauer, es gelten die Gleichungen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\Phi }_{11} & = & {\Gamma }_{11}^{1}{\Phi }_{1}+{\Gamma }_{11}^{2}{\Phi }_{2}+L\text\,{n},\\ {\Phi }_{12} & = & {\Gamma }_{12}^{1}{\Phi }_{1}+{\Gamma }_{12}^{2}{\Phi }_{2}+M\text\,{n,}\\ {\Phi }_{22} & = & {\Gamma }_{22}^{1}{\Phi }_{1}+{\Gamma }_{22}^{2}{\Phi }_{2}+N\text\,{n,}\end{array}\end{eqnarray} worin L, M, N die Koeffizienten der zweiten Gaußsche Fundamentalform sind.

Die Tangentialkomponente der zweiten Ableitung γ″(t) einer beliebigen Flächenkurve γ(t) ergibt sich in der Gaußschen Parameterdarstellung γ(t) = Φ(u1(t), u2(t)) zu \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{({\gamma }^{^{\prime\prime} })}^{{\rm{T}}}=({u}_{1}^{^{\prime\prime} }+\displaystyle {\sum }_{ij=1}^{2}{\Gamma }_{ij}^{1}{u}_{i}^{^{\prime} }{u}_{j}^{^{\prime} }){\Phi }_{1}+({u}_{2}^{^{\prime\prime} }+\displaystyle {\sum }_{ij=1}^{2}{\Gamma }_{ij}^{2}{u}_{i}^{^{\prime} }{u}_{j}^{^{\prime} }){\Phi }_{2}. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Das ist die absolute Ableitung des Tangentialvektorfeldes der Kurve γ. Die Lösungen des Differen-tialgleichungssystems (γ″)T = 0 mit festem Anfangswert γ(0) = P sind die vom Punkt PF in Richtung des Anfangswertes γ′(0) ausgehenden geodätischen Linien.

Die Christoffelsymbole lassen sich allein durch die Koeffizienten E, F, G der ersten Gaußschen Fundamentalform ausdrücken. Wir geben hier die Formeln an, die man im Sonderfall F = 0, d. h., für Φ1 . Φ2 = 0 erhält: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\Gamma }_{11}^{1}=\frac{{E}_{u}}{2E}, & {\Gamma }_{11}^{2}=\frac{-{E}_{v}}{2G},\\ {\Gamma }_{12}^{1}=\frac{{E}_{v}}{2E}, & {\Gamma }_{12}^{2}=\frac{{G}_{u}}{2G},\\ {\Gamma }_{22}^{1}=\frac{-{G}_{u}}{2E}, & {\Gamma }_{22}^{2}=\frac{{G}_{v}}{2G}.\end{array}\end{eqnarray}

In der Riemannschen Geometrie sind die Christoffelsymbole die Koeffizienten des LeviCivita-Zusammenhangs. Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n, so errrechnen sie sich in einem lokalen Koordinatensystem (x1,…, xn) von M aus den Koeffizienten gij des metrischen Fundamentaltensors nach der Formel \begin{eqnarray}{\Gamma }_{ij}^{k}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{g}^{kl}\{\frac{\partial {g}_{jl}}{\partial {x}^{i}}+\frac{\partial {g}_{il}}{\partial {x}^{j}}-\frac{\partial {g}_{ij}}{\partial {x}^{l}}\},\end{eqnarray} wobei mit gkl die zu gij inverse Matrix bezeichnet wird.

Auch in der Theorie der affinen Zusammenhänge wird der Name Christoffelsymbole für die Größen benutzt, mit denen in lokalen Koordinaten die kovariante Ableitung ausgedrückt wird. Ist ∇ ein affiner Zusammenhang auf M und wird mit ∂i für i = 1,…,n das Tangentialvektorfeld an die Koordinatenlinie \begin{eqnarray}{\mathbb{R}}\ni\,t\mapsto ({x}^{1},\ldots, {x}^{i-1},t,{x}^{i+1}\ldots, {x}^{n})\in M\end{eqnarray} bezeichnet, so sind die \({\Gamma }_{ij}^{k}\) durch \begin{eqnarray}{\nabla }_{{\partial }_{i}}{\partial }_{j}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\Gamma }_{ij}^{k}{\partial }_{k}\end{eqnarray} definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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