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Lexikon der Mathematik: Ck-Topologie

Topologie auf Mengen von Ck-Abbildungen, die durch folgende Norm induziert wird: Den Vektorraum der Ck-Abbildungen von der Mannigfaltigkeit M nach ℝn bezeichnen wir mit Ck(M, ℝn). Dann wird auf Ck(M, ℝn) durch

\begin{eqnarray}\parallel f\parallel :=\sup \ \mathop{\max }\limits_{j\in \{0,\mathrm\cdots{k}\}}\parallel {d}^{j}(f\circ{h}^{-1})(x)\parallel \end{eqnarray}

für fCk(M, ℝn), wobei das Supremum über alle Karten h von M mit Definitionsbereich U und alle xU zu nehmen ist, eine Norm definiert. Die mit Hilfe dieser Norm definierten offenen Kugeln induzieren die Ck-Topologie auf Ck(M, ℝn).

Für eine Menge M ⊂ ℝm ist auf der Menge der stetigen Abbildungen C0(M, ℝn) durch ∥ · ∥0 gerade die Supremumsnorm definiert. Für den Fall einer kompakten Mannigfaltigkeit geben wir einige wichtige Ergebnisse an:

Sei M kompakte Mannigfaltigkeit, und Ck(M, ℝn) sei mit der Ck-Topologie ausgestattet. Dann gilt:

  1. Ck(M, ℝn) ist ein Banachraum.
  2. Ck(M, ℝn) ist ein Baire-Raum.
  3. Ck(M, ℝn) ist separabel.
  4. C(M, ℝn) liegt dicht in Ck(M, ℝn).

Weiter folgt, daß für eine weitere Mannigfaltigkeit N die Menge der glatten Funktionen von M nach N, C(M, N), dicht in Ck(M, N) liegt für alle k ∈ ℕ0. Schließlich ist die Menge der Ck-Diffeomorphismen auf M, Diffk(M), offen in Ck(M, M).

[1] Palis,J.; Melo,W. de: Geometric Theory of Dynamical Systems. Springer-Verlag New York, 1982.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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