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Lexikon der Mathematik: Ck(Ḡ)

Menge der Funktionen \(f:\overline{G}\to {\mathbb{R}}\), für die f/GCk(G) gilt und die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k von f sich stetig auf \(\overline{G}\) fortsetzen lassen, wobei G ⊂ ℝn offen sei.

\({C}^{0}(\overline{G})\) ist also gerade die Menge der stetigen reellwertigen Funktionen auf \(\overline{G}\), d. h. es gilt \({C}^{0}(\overline{G})=C(\overline{G})\cdot {C}^{k}(\overline{G})\) bildet mit der punktweise definierten Addition und Multiplikation von Funktionen eine Funktionenalgebra, die für beschränktes G mit der Norm

\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{{C}^{k}}=\displaystyle \sum _{|\alpha |\le k}{\Vert {D}^{\alpha }f\Vert }_{\infty }\quad\left(f\in {C}^{k}(\overline{G})\right)\end{eqnarray}

eine Banachalgebra ist, wobei hier in abkürzender Weise für einen Multi-Index \(\alpha =({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n})\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}^{n}\)

\begin{eqnarray}|\alpha |={\alpha }_{1}+\cdots +{\alpha }_{n}\end{eqnarray}

gesetzt wurde, und

\begin{eqnarray}{D}^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{{\alpha }_{1}}\ldots {\partial }^{{\alpha }_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\ldots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}f\end{eqnarray}

die partielle Ableitungen der Ordnung höchstens |α| bezeichet. Mit der Maximumsnorm ∥ ⋅ ∥ ist \({C}^{k}(\overline{G})\) i.a. nicht abgeschlossen. Durch

\begin{eqnarray}{f}_{n}(x)=\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{n}}\quad(x\in [-1,1])\end{eqnarray}

sind z.B. für n ∈ ℕ Funktionen fnC1[−1, 1] gegeben, die bzgl. ∥ ⋅ ∥ gegen die Betragsfunktion konvergieren, welche aber selbst nicht in C1 [−1, 1] liegt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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