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Lexikon der Mathematik: Clairautsche Differentialgleichung

eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

\begin{eqnarray}y(x)=x{y}^{\prime} (x)+g({y}^{\prime}(x)).\end{eqnarray}

wobei g : I → ℝ eine stetige Funktion auf einem Intervall I ⊂ℝ ist.

Die Clairautsche Differentialgleichung ist ein Spezialfall der d’Alembertschen Differentialgleichung. Lösungen der Clairautschen Differentialgleichung sind die Geraden

\begin{eqnarray}{y}_{c}(x)=cx+g(c)\end{eqnarray}

für cI.

Ist g auf I stetig differenzierbar mit streng monotoner Ableitung, so existiert auch die Enveloppenlösung (in Parameterdarstellung):

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}x(t) & = & -\dot{g}(t)\\ y(t) & = & -t\dot{g}(t)+g(t)\quad(t\in I).\end{array}\end{eqnarray}

Man vergleiche auch Enveloppe einer Geradenschar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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