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Lexikon der Mathematik: Clifford-Algebra

eine Faktoralgebra mit Einselement, die wie folgt konstruiert wird.

Gegeben sei ein Vektorraum V über dem Körper \({\mathbb{K}}\) zusammen mit einer quadratischen Form Q : V → \({\mathbb{K}}\).

Die zugehörige Clifford-Algebra C(V, Q) ist dann die Faktoralgebra T(V)/J(Q) mit der Tensoralgebra T(V) des Vektorraums V (mit dem Einselement 1), und dem zweiseitigen Ideal J(Q) in T(V), erzeugt von den Elementen

\begin{eqnarray}x\otimes x-Q(x)\cdot 1,\quad \forall x\in V.\end{eqnarray}

Per Konstruktion ist C(V, Q) eine assoziative Algebra mit Einselement. Man setzt auch \(\bar{x}:=x\) mod J(Q).

Mit Q assoziiert ist die symmetrische Bilinear-form

\begin{eqnarray}B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y).\end{eqnarray}

Umgekehrt definiert eine symmetrische Bilinearform auch eine quadratische Form. Mit der Bilinearform B gilt

\begin{eqnarray}\bar{x}\bar{y}+\bar{y}\bar{x}=B(x,y)\cdot 1.\end{eqnarray}

Das Standardbeispiel für eine Clifford-Algebra wird, ausgehend von einem euklidischen Vektorraum V mit Skalarprodukt 〈.,.〉, mit der Vorgabe Q(x) = 〈x, x〉 erhalten.

Ein weiteres Beispiel ist die Diracsche Spinor-algebra.

Die alternierende Algebra (alternierende Algebra über einem Vektorraum) erhält man durch Q(x) ≡ 0.

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis {x1,…, xn} über einem Körper \({\mathbb{K}}\) mit char \({\mathbb{K}}\) ≠ 2, dann gilt dim C(V, Q) = 2n, und C(V, Q) besitzt als Basiselemente das Element 1 und die Elemente

\begin{eqnarray}{\bar{x}}_{{i}_{1}}{\bar{x}}_{{i}_{2}}\cdot {\bar{x}}_{{i}_{k}},1\le {i}_{1}\lt {i}_{2}\cdots \lt {i}_{k}\le n,k=1,\ldots n.\end{eqnarray}

Insbesondere ist V ein Untervektorraum von C(V, Q). Das Ideal J(Q) ist i. allg. kein homogenes Ideal, deshalb ist die Clifford-Algebra nicht über ℤ graduiert. Sie ist jedoch über ℤ/2ℤ graduiert. Dies heißt, sie kann in ihre geraden und ungeraden Elemente zerlegt werden:

\begin{eqnarray}C(V,Q)={C}_{+}(V,Q)\oplus C-(V,Q).\end{eqnarray}

Es bestehen Beziehungen zwischen Clifford-Algebren und Quaternionenalgebren. So ist etwa eine Cliffordalgebra zu einem zweidimensionalen Vektorraum über einem Körper \({\mathbb{K}}\) mit char \({\mathbb{K}}\) ≠ 2 mit nichtausgearteter Bilinearform eine Quaternionenalgebra.

Unter denselben Voraussetzungen über die Charakteristik und die Bilinearform ist C(V, Q) für einen n-dimensionalen Vektorraum für gerades n eine zentrale einfache Algebra, und für ungerades n in Abhängigkeit von der Diskriminante der Bilinearform entweder eine einfache Algebra mit einer zweidimensionalen Körpererweiterung von \({\mathbb{K}}\) als Zentrum, oder eine direkte Summe zweier isomorpher zentraler einfacher Algebren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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