Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Coons-Fläche

über einem meist rechteckigen Parametergebiet G definierte Fläche, die auf allen Randseiten von G vorgegebene Randfunktionen interpoliert.

Im einfachsten Fall werden durch diese Randfunktionen nur die Werte der gewünschten Funktion vorgeschrieben, es ist jedoch auch möglich, die Normalenableitung auf dem Rand vorzugeben.

Wir verdeutlichen die Vorgehensweise an einem Beispiel. Es sei G = [0, 1]2. Vorgegeben werden vier auf [0, 1] stetige Randfunktionen f0, f1, g0 und g1, die noch die Kompatibilitätsbedingungen

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{f}_{0}(0)={g}_{0}(0) &, & {f}_{0}(1)={g}_{1}(0)\end{array},\\ \begin{array}{ccc}{f}_{1}(0)={g}_{0}(1) &, & {f}_{1}(1)={g}_{1}(1)\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

erfüllen müssen. Gesucht ist eine über [0, 1]2 stetige Funktion C mit den Eigenschaften

\begin{eqnarray}C(x,\mu )={f}_{\mu }(x)\,\,\,\text{und}\,\,\,C(\mu, y)={g}_{\mu }(y)\end{eqnarray}

für μ = 0, 1 und x, y ∈ [0, 1].

Diese Aufgabe wird gelöst durch die Coons-Fläche \begin{eqnarray}\begin{array}{c}C(x,y)={g}_{0}(y)(1-x)+{g}_{1}(y)x\\ +{f}_{0}(x)(1-y)+{f}_{1}(x)y\\ -((1-x){f}_{0}(0)+x{f}_{0}(1))(1-y)\\ -((1-x){f}_{1}(0)+x{f}_{1}(1))y.\end{array}\end{eqnarray}

Die Funktionen φ0(t) := t und φ1(t) := 1 – t bezeichnet man als Bindefunktionen.

Sollen zusätzlich zu den Funktionswerten noch die Normalenableitungen von C vorgeschrieben werden, so geschieht dies durch Vorgabe von weiteren Randfunktionen \({\hat{f}}_{0},{\hat{f}}_{1},{\hat{g}}_{0}\) und ĝ1, die natürlich eine Reihe von weiteren Kompatibilitätsbedingungen erfüllen müssen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos