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Lexikon der Mathematik: Cotangensfunktion

Cotangens, ist definiert durch

\begin{eqnarray}\cot z:=\displaystyle\frac{\cos z}{\sin z}\end{eqnarray}

für z ∈ ℂ, zπℤ.

Die Cotangensfunktion ist eine in ℂ meromorphe Funktion mit einfachen Nullstellen an \(z=zk=(k\frac{1}{2})\pi \) und einfachen Polstellen an z = ζk = , k ∈ ℤ.

Für die Residuen gilt Res (cot, ζk) = 1, und für die Ableitung erhält man

\begin{eqnarray}\mathrm{co}{t}^{\prime}z=-\displaystyle\frac{1}{{\sin }^{2}z}=-(1+{\cot }^{2}z).\end{eqnarray}

Die Darstellung mittels der Exponentialfunktion lautet

\begin{eqnarray}\cot z=i\displaystyle\frac{{e}^{2iz}+1}{{e}^{2iz}-1}=i\left(1-\displaystyle\frac{2}{1-{e}^{2iz}}\right).\end{eqnarray}

Es ist cot eine periodische Funktion mit der Periode π. Es gilt das Additionstheorem

\begin{eqnarray}\cot (w+z)=\displaystyle\frac{\cot w\cot z-1}{\cot w+\cot z}\end{eqnarray}

und die Verdopplungsformel

\begin{eqnarray}2\cot 2z=\cot z+\cot \left(z+\displaystyle\frac{\pi }{2}\right).\end{eqnarray}

Die Laurent-Entwicklung (Cotangensreihe) um Null lautet

\begin{eqnarray}\cot z=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\displaystyle\frac{{4}^{n}{B}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n-1}\end{eqnarray}

für 0 < |z| < π, wobei B2n die Bernoullischen Zahlen sind.

Schließlich gilt für z ∈ ℂ \ ℤ noch die Partialbruchentwicklung

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}\pi \cot \pi z=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\displaystyle\frac{1}{z+n}\\ =\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\displaystyle\frac{1}{z+n}+\displaystyle\frac{1}{z-n}\right)\\ =\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle \underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\sum {^{\prime}}}}\left(\displaystyle\frac{1}{z+n}-\displaystyle\frac{1}{n}\right)\\ =\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\displaystyle\frac{2z}{{z}^{2}-{n}^{2}}.\end{array}\end{eqnarray}

Dabei bedeutet \({\displaystyle \sum }^{\prime}\), daß der Summand mit n = 0 in der Summe fehlt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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