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Lexikon der Mathematik: Courantsches Minimum-Maximum-Prinzip

Konstruktionsmethode für einen minimalen Eigenwert, Spezialfall des Courantschen Variationsprinzips.

Sei Ws eine Menge von s linear unabhängigen Vergleichsfunktionen w1, …, ws, [Ws] := Span(w1, …, ws) und R der Rayleighsche Quotient.

Dann wird der s-te Eigenwert λseines selbst-adjungierten volldefiniten Eigenwertproblems durch

\begin{eqnarray}{\lambda _s} = \mathop {\min }\limits_{{W_s}} \mathop {\max }\limits_{0 \ne v \in [{W_s}]} R\left( v \right).\end{eqnarray}

gegeben, wobei das Minimum über alle Mengen Wszu erstrecken ist.

Insbesondere ist

\begin{eqnarray}{\lambda _1} = \mathop {\min }\limits_{0 \ne v \in V\left( J \right)} R\left( v \right),\end{eqnarray}

wobei V(J) den Raum der Vergleichsfunktionen bezeichnet. Daraus folgt sofort die sog. Rayleighsche Abschätzung.

Dieses Extremalprinzip wurde aus dem Satz von Mertens (Einschließungssätze für Eigenwerte) gewonnen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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