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Lexikon der Mathematik: Courantsches Variationsprinzip

Prinzip zur Bestimmung der positiven Eigenwerte eines selbstad-jungierten kompakten Operators.

Sei T : HH ein kompakter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum H, und seien \(\lambda_{1}^{+}\ge \lambda_{2}^{+}\ge \cdots \) die positiven Eigenwerte von T, die inkl. ihrer Vielfachheit gezählt werden (Eigenwert eines Operators). Dann gelten

\begin{eqnarray}\lambda _n^ + = \mathop {\sup }\limits_U \mathop {\min }\limits_{x \in U\backslash \{ 0\} } {{\left\langle {Tx,\,x} \right\rangle } \over {\left\langle {x,\,x} \right\rangle }},\end{eqnarray}

wobei sich das Supremum über alle n-dimensionalen Unterräume von H erstreckt, auf denen \(\langle Tx,x\rangle \gt 0\) für x ≠ 0 ist, sowie

\begin{eqnarray}\lambda _n^ + = \mathop {\inf }\limits_V \mathop {\max }\limits_{x \in {V^ \bot }\backslash \{ 0\} } {{\left\langle {Tx,\,x} \right\rangle } \over {\left\langle {x,\,x} \right\rangle }},\end{eqnarray}

falls die rechte Seite positiv ist; das Infimum wird über alle (n – 1)-dimensionalen Teilräume gebildet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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