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Lexikon der Mathematik: Coxeter-Diagramm

Dynkin-Diagramm, bei der Klassifikation der einfachen (Coxeter-)Gruppen benutzte graphische Darstellung der Beziehung der Wurzelvektoren zueinander.

Zwei einfache Gruppen haben genau dann dasselbe Coxeter-Diagramm, wenn sie lokal isomorph sind.

Man gewinnt das Coxeter-Diagramm einer gegebenen Coxeter-Gruppe, indem man die Elemente der Erzeugermenge S der Gruppe in folgender Weise als Punkte eines Graphen dargestellt.

Man benutzt die Tatsache, daß die Coxeter-Gruppe vollständig beschrieben wird durch die Relationen (st)mst = 1 (s, tS). (Hierbei ist M = (mst)s,tS eine sog. Coxeter-Matrix, d. i. eine symmetrische Matrix, deren Diagonaleinträge gleich Eins sind und deren übrige Einträge natürliche Zahlen größer oder gleich 2 sind.) Zwei Punkte s, tS bleiben nun unverbunden, falls mst = 2 ist. Andernfalls werden sie verbunden mit mst – 2 parallelen Kanten (oder alternativ mit einer Kante, die mit der Zahl mst beschriftet ist).

Beispielsweise ist das Coxeter-Diagramm der Gruppe SO(2r) ein bestimmter zusammenhängender Graph mit r Knoten und (r – 1) Kanten. Je nach Sichtweise der Autoren wird ein Coxeter-Diagramm manchmal auch Dynkin-Diagramm oder auch Schläfli-Diagramm genannt.

[1] Fuchs, J.; Schweigert, C.: Symmetries, Lie Algebras and Representations. Cambridge University Press, 1997.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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