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Lexikon der Mathematik: Coxeter-Gruppe

endlich erzeugte Gruppe G, die bestimmte Zusatzbedingungen erfüllt.

Die Coxeter-Gruppen werden meist multiplikativ geschrieben, und das Einselement mit e bezeichnet. Für i = 1, …, n seien si die n Erzeugenden von G, d. h., jedes Element von G ist das Produkt von endlich vielen der si.

Was die bis hierher definierte endlich erzeugte Gruppe zur Coxeter-Gruppe macht, ist folgende Bedingung: Jedes si hat die Ordnung 2 (d. h. \({s}_{i}^{2}=e\)), und das Produkt von drei oder mehr der si hat stets unendliche Ordnung.

Die Definition macht schon deutlich, daß an die Ordnung der Zweierprodukte keine Bedingung gestellt wird. Die Ordnung m = mij des Gruppenelements xi xj ist hierbei die kleinste Zahl m ∈ ℕ so, daß (xi xj)m = e gilt; gibt es keine solche Zahl, wird mij = ∞ gesetzt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Coxeter-Gruppe
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Coxeter-Diagramme der endlichen irreduziblen Coxeter-Gruppen

Eine Coxeter-Gruppe heißt irreduzibel, wenn sie sich nicht als direktes Produkt nichttrivialer Coxeter-Gruppen schreiben läßt. Die endlichen irreduziblen Coxeter-Gruppen lassen sich vollständig aufzählen. Man vergeleiche hierzu die obige Abbildung, die diese Aufzählung mit Hilfe des Coxeter-Diagramms vornimmt.

Geometrisch kann man die xi als Spiegelungen (z. B. an einer (Hyper)-Fläche im euklidischen Raum beliebiger Dimension) betrachten. Dann ist unter bestimmten Voraussetzungen das Zweierprodukt x1x2 eine Drehung; ist etwa m12 = 4, so handelt es sich um eine Drehung um 900.

Coxeter-Gruppen entsprechen sogar eineindeutig den Spiegelungsgruppen. Entsprechend spricht man von sphärischen, affinen und hyperbolischen Coxeter-Gruppen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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