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Lexikon der Mathematik: Coxeter-Komplex

ein numerierter simplizialer Komplex, der einer Coxeter-Gruppe zugeordnet ist.

Es sei G eine Coxeter-Gruppe mit Erzeugermenge S und zugehöriger Coxeter-Matrix M. Für JS sei

\begin{eqnarray}{G}_{J}:=\langle s|s\in J\rangle.\end{eqnarray}

Weiter bezeichnen wir mit Δ die Menge aller Nebenklassen der Untergruppen GJ . Auf Δ sei die Halbordnung ≤ definiert durch

\begin{eqnarray}g{G}_{I}\le h{G}_{J}\iff g{G}_{I}\supseteq h{G}_{J}.\end{eqnarray}

Dann ist der zugehörige Coxeter-Komplex Σ(M) definiert als der numerierte Komplex (Δ, ≤). Die Punkte dieses Komplexes sind

\begin{eqnarray}\{g{G}_{S\backslash \{s\}}|g\in G,s\in S\},\end{eqnarray}

seine Kammern sind die Elemente von G.

Es sei beispielsweise

\begin{eqnarray}G=\langle s,t|{s}^{2}={t}^{2}={(st)}^{m}=1\rangle \end{eqnarray}

die Coxeter-Gruppe mit Coxeter-Diagramm I2(m), d.i. die Symmetriegruppe des regulären m-Ecks.

Dann ist der zugehörige Coxeter-Komplex Σ der Fahnenkomplex des regulären m-Ecks, und die Gruppe G operiert in natürlicher Weise auf Σ.

Der Fall m = 4 ist in der Abbildung wiedergegeben.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel CPT-Theorem
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Der Coxeter-Komplex Σ(C2) = Σ(I2(4)) als Fahnenkomplex

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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