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Lexikon der Mathematik: Cramersche Regel

Verfahren (bzw. Bezeichnung für die Formel (1)) zur direkten Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b mit einer nichtsingulären Koeffizientenmatrix A ∈ ℝn×n und der rechten Seite b ∈ ℝn.

Die Lösung x = A–1b kann explizit und eindeutig angegeben werden: Es gilt x = (x1, x2, …, xn)t mit den Komponenten (man beachte, daß det A ≠ 0!) \begin{eqnarray}{x}_{i}=\frac{1}{\det A}\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\cdots & {b}_{1}\cdots & {a}_{1n}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {a}_{n1}\cdots & {b}_{n}\cdots & {a}_{nn}\end{array}\right)\end{eqnarray}(1)

für i = 1, …, n. Dabei erhält man die rechtsstehende Matrix durch Ersetzen der i-ten Spalte (a1i, …, ani)t von A durch den Vektor b.

Die Cramersche Regel ist für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Ordnung nicht geeignet, denn der Rechenaufwand steigt mit wachsender Dimension sehr schnell an, und das Verfahren ist numerisch nicht stabil.

Daher verwendet man zur Lösung von großen linearen Gleichungssystemen das Gauß-Verfah-ren oder Verfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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