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Lexikon der Mathematik: Cusanus-Algorithmus zur Berechnung von π

das um 1450 von Nicolaus Cusanus gefundene, mit dem Archimedes-Algorithmus zur Berechnung von π verwandte Iterationsverfahren.

Cusanus betrachtete regelmäßige Vielecke vom Umfang 1 und deren In- und Umkreise: Für den

Radius rn des In- und den Radius Rn des Umkreises des n-Ecks ist \({r}_{n}\frac{1}{2\pi }{R}_{n},\) und es gilt \({r}_{n}\uparrow \frac{1}{2\pi }\) und \({R}_{n}\downarrow \frac{1}{2\pi }\) für n → ∞. Wie beim Archimedes-Algorithmus folgen aus elementaren geometrischen Überlegungen oder aus den Halbierungsformeln der trigonometrischen Funktionen die Beziehungen

\begin{eqnarray}{r}_{2n}=\frac{{r}_{n}+{R}_{n}}{2},{R}_{2n}=\sqrt{{r}_{2n}{R}_{n}}.\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Cusanus-Algorithmus zur Berechnung von π
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Diese Iteration ist äquivalent zu der von Archimedes: Mit den Größen un, Un des Archimedes-Algo-rithmus gilt

\begin{eqnarray}{r}_{n}=\frac{1}{{U}_{n}}\,{\rm{und}}\,{R}_{n}=\frac{1}{{u}_{n}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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