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Lexikon der Mathematik: d’Alembert-Operator

spezieller hyperbolischer Differentialoperator der Form

\begin{eqnarray}\square \ :=\frac{{\partial }^{2}}{\partial {t}^{2}}-{c}^{2}{\Delta }_{x}\end{eqnarray}

bzgl. der Zeitvariablen t und der n-dimensionalen Raumvariablen x.

Dabei ist Δx der Laplace-Operator (bzgl. x) und c eine positive Konstante.

Der d’Alembert-Operator ist der Standardtyp eines hyperbolischen Operators. Für n = 1 läßt er sich zu

\begin{eqnarray}\left(\frac{\partial }{\partial t}-c\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t}+c\frac{\partial }{\partial x}\right)\end{eqnarray}

faktorisieren, woraus sich mit den Cauchy-Daten \begin{eqnarray}u(0,x)={u}_{0}(x),\\ {u}_{t}(0,x)={u}_{1}(x)\end{eqnarray} (u0 und u1 vorgegebene Funktionen) ein Anfangswertproblem ergibt, dessen Lösung (sog. d’Alembertsche Lösung) durch die d’Alembert-Formel \begin{eqnarray}u(t,x)=\frac{1}{2}({u}_{0}(x+ct)+{u}_{0}(x-ct))\\ +\frac{1}{2c}\left(\displaystyle \underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}{u}_{1}(\xi )d\xi \right)\end{eqnarray} explizit angegeben werden kann. Für n > 1 existiert keine derartige Zerlegung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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