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Lexikon der Mathematik: d’Alembertsche Differentialgleichung

implizite Differentialgleichung erster Ordnung der Form

\begin{eqnarray}y(x)=xf({y}^{\prime}(x))+g({y}^{\prime}(x))\end{eqnarray}

mit zwei stetig differenzierbaren Funktionen f, g. Mit p := y′ erhält man durch Differentiation von y(p) = xf(p) + g(p) nach p

\begin{eqnarray}\frac{dy}{dp}=\frac{dx}{dp}f+x\frac{df}{dp}+\frac{dg}{dp},\end{eqnarray}

und somit die lineare Differentialgleichung

\begin{eqnarray}\frac{dx}{dp}={x}^{\prime}=\frac{x{f}^{\prime}(p)+{g}^{\prime}(p)}{p-f(p)},\end{eqnarray}

aus der x(p) und damit auch y(p) = xf(p) + g(p) in geschlossener Form bestimmt werden kann.

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer Verlag Berlin, 1996.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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