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Lexikon der Mathematik: d’Alembertsches Theorem

d’Alembertsches Prinzip, die Aussage, daß an einem mechanischen System (bestehend aus k Massenpunkten mit den Massen mk) die auf das System wirkenden (äußeren) Kräfte \(\mathfrak{F}_{k}\) und die Trägheitskräfte

\begin{eqnarray}\mathfrak{F}_{k}^{* }=-\frac{{m}_{k}{d}^{2}\mathfrak{r}_{k}}{d{t}^{2}}\end{eqnarray}

im Gleichgewicht stehen (\(\mathfrak{r}_{k}\) Ortsvektor des k-ten Teilchens im dreidimensionalen euklidischen Raum).

Dies bedeutet formal nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit (verschiebt man die k das System bildenden Massenpunkte um δ gk, dann leisten die Kräfte keine Arbeit), daß

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k}(\mathfrak{F}_{k}^{* }+\mathfrak{F}_{k})\cdot \delta {g}_{k}=0.\end{eqnarray}

Das Theorem gilt auch für Massenpunkte, deren Bewegung durch Bedingungen eingeschränkt ist. In diesem Fall kann man aus der obigen Gleichung nicht auf das Newtonsche Bewegungsgesetz für die einzelnen Massenpunkte schließen, weil die δ gk nicht mehr unabhängig sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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