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Lexikon der Mathematik: Daniell-Stone-Integral

Daniell-Integral, ein abstrakter Integralbegriff, der einen Zugang zur Integrationstheorie durch die Theorie der Vektorverbände darstellt.

Sei X ein Vektorraum von reellen Funktionen auf einer Menge Ω mit min{f, g} ∈ X, falls f, gX. Ferner gelte die Stonesche Bedingung min{f, 1} ∈ X, falls fX; X heißt dann ein Stonescher Vektorverband.

Sei I : X → ℝ eine positive lineare Abbildung (Abbildungen zwischen Vektorverbänden) mit\(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }I(fn)=0\) für alle monoton fallenden Folgen (fn), die punktweise gegen 0 konvergieren. Dann existiert ein Maß μ auf der von den Mengen f−1(A) (fX, A ⊂ ℝ eine Borelmenge) erzeugten σ -Algebra, so daß X ⊂ \({{\mathcal{L}}}^{1}(\mu )\)(μ) und \(I(f)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }fd\mu \) für fX ist. Dann nennt man I Daniell-Stone-Integral, Daniell-Integral, oder manchmal auch abstraktes Integral.

Ausgehend vom Riemann-Integral auf X = C[a,b] oder X = \({\mathcal{K}}\)(ℝ) erhält man so das Lebesguesche Integral.

[1] Fremlin, D. H.: Topological Riesz Spaces and Measure Theory. Cambridge University Press, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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