Aussage über den Zu-sammmenhang des Daniell-Stone-Integrals mit Maβen.

Es sei Ω eine Menge, \({\mathcal{F}}\)ein Stonescher Vektorverband reeller Funktionen auf Ω und I ein Daniell-Stone-Integral auf \({\mathcal{F}}\).

Dann existiert genau ein Maß μ auf der kleinsten σ -Algebra σ (\({\mathcal{F}}\)) auf Ω, für die alle u ∈ \({\mathcal{F}}\) meßbare Funktionen sind, mit folgenden Eigenschaften:

1. \({\mathcal{F}}\) ist Untermenge der Menge \({{\mathcal{L}}}^{1}(\mu )\)der μ-integrierbaren Funktionen auf Ω
2. I(u) = ∫ udμ für alle u ∈ \({\mathcal{F}}\)
3. μ(A) = inf{μ(G)|G \({\mathcal{F}}\)-offen mit A ⊆ G für alle A ∈ σ(\({\mathcal{F}}\)).

Existiert in \({\mathcal{F}}\)₊ eine isotone Folge (u_n|n ∈ \({\mathbb{N}}\))mit sup{u_n|n ∈ \({\mathbb{N}}\)} > 0 und sup{I(u_n)|n ∈ \({\mathbb{N}}\)} < +∞, so ist μ ein σ-endliches Maß und bereits durch die Eigenschaft (a) und (b) eindeutig bestimmt. Ferner gilt, daβ für jedes ρ ∈ [1, ∞) \({\mathcal{F}}\) bzgl. der Konvergenz im ρ-ten Mittel dicht liegt in der Menge der ρ-fach μ-integrierbaren Funktionen auf Ω.