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Lexikon der Mathematik: darstellende Geometrie

deskriptive Geometrie, Teilgebiet der Geometrie, das die Untersuchung geometrischer Gebilde des drei- (oder mehr-)dimensionalen Raumes und die Lösung von drei-(oder mehr-)dimensionalen Problemen durch Abbildungen (Projektionen) in die (Zeichen-)Ebene bzw. mehrere Ebenen beinhaltet.

Einen Schwerpunkt bildet dabei die Rückführung räumlicher auf planimetrische Konstruktionsaufgaben. Ist der Zusammenhang zwischen Original und Bild(ern) eineindeutig, so lassen sich räumliche Probleme durch Konstruktion in der Zeichenebene lösen. Umgekehrt ist auch die Umsetzung zweidimensionaler Konstruktionsergebnisse in den dreidimensionalen Raum von Bedeutung − u. a. im Zusammenhang mit computergestützter Konstruktion (CAD) und computerunterstützter Visualisierung.

In der darstellenden Geometrie verwendete Abbildungsverfahren sind die senkrechte Parallelprojektion (Ein-, Zwei- und Dreitafelprojektion), die schräge Parallelprojektion (Schrägbilder, Axonometrien) und die Zentralprojektion.

Bei der senkrechten Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene ε wird jedem Punkt A des

Raumes der Fußpunkt des Lotes von A auf ε als Bildpunkt A′ zugeordnet. Wird nur eine Projektionsebene verwendet, so spricht man von einer Eintafelprojektion.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel darstellende Geometrie
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Projektion der Geraden g = AB auf die Ebene ε

Gibt man bei der Eintafelprojektion zusätzlich die Höhe von Raumpunkten über der Projektionsebene (Abstand von ε) an, so ist die Lage dieser Punkte im Raum eindeutig bestimmt.

Statt auf nur eine Ebene werden häufig senkrechte Parallelprojektionen auf zwei oder drei Projektionsebenen (Tafeln) durchgeführt, die i.allg. aufeinander senkrecht stehen. Man spricht in diesem Falle von einer Zwei- bzw. Dreitafelprojektion. Die folgende Abbildung zeigt exemplarisch die Bildpunkte A′ und A″ eines Punktes A bei einer Zweitafelprojektion.

Während bei der senkrechten Parallelprojektion die Projektionsstrahlen senkrecht zur Projektionsebene verlaufen (also Lote auf diese sind), bilden die Projektionsstrahlen bei der schrägen Parallelprojektion mit der Projektionsebene einen von 90° verschiedenen Neigungswinkel ϕ. Durch schräge Parallelprojektion entstandene Bilder treten u. a. als Schatten durch Sonnenlicht auf und sind anschaulich gut zu erfassen. Zur Projektionsebene parallele geometrische Figuren werden auf dazu kongruente Figuren in der Projektionsebene abgbildet. Die Bilder von zur Projektionsebene senkrechten Geraden (Tiefengeraden) sind gegen die Horizontale um den Verzerrungswinkel α geneigt. Die Bilder von Strecken auf Tiefengeraden werden verkürzt abgebildet; die Länge einer Bildstrecke ergibt sich als Produkt aus der Länge der Originalstrecke mit dem Verzerrungsfaktor (Verkürzungsfaktor) q:

\begin{eqnarray}|{A}^{\prime}{B}^{\prime}|=q.|AB|\end{eqnarray}

Abbildung 2 zum Lexikonartikel darstellende Geometrie
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Eine häufig verwendete schräge Parallelprojektion ist die sog. Kavaliersperspektive mit dem Verzerrungswinkel α = 45° und dem Verzerrungsfaktor q = \(\frac{1}{2}\).

Abbildung 3 zum Lexikonartikel darstellende Geometrie
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Darstellung eines Würfels in Kavaliersperspektive

Bei der Zentralprojektion treffen sich alle Projektionsstrahlen in einem Punkt Z, dem Projektionszentrum. Die Bildpunkte ergeben sich als Schnittpunkte der Verbindungsgeraden zwischen den Originalpunkten und dem Projektionszentrum mit der festgelegten Projektionsebene. Die Zentralprojektion entspricht damit der Abbildung des Raumes durch das (als punktförmig betrachtete) menschliche Auge. Auch bei der Fotografie werden Teile des Raumes durch eine Zentralprojektion auf die Projektionsebene (Film) abgebildet. Das Projektionszentrum ist hierbei die Blendenöffnung.

Abbildung 4 zum Lexikonartikel darstellende Geometrie
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Zentralprojektion

Jede Parallelprojektion kann auch als Zentralprojektion mit einem unendlich weit entfernten Projektionszentrum aufgefaßt werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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