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Lexikon der Mathematik: Darstellung des Spins

für einen Zustand eines als elementar betrachteten Teilchens ein Element eines Darstellungsraumes einer total symmetrischen Darstellung von SU(2) (in der nichtrelativistischen Quantenmechanik) und der zweidimen-sionalen unimodularen Gruppe (in der relativistischen Quantentheorie).

Der Spin (auch Eigendrehimpuls genannt) eines Teilchens ist eine rein quantenphysikalische Eigenschaft. Das Quadrat des zugeordneten Spinoperators ŝ hat die Eigenwerte s(s + 1)ħ, wobei s eine ganze oder halbe positive Zahl sein kann.

Wäre also das Plancksche Wirkungsquantum gleich Null, hätten alle Teilchen nur verschwindenden Spin. In bezug auf eine ausgezeichnete Richtung kann sich der Spin auf (2s + 1) verschiedene Weisen orientieren. Wird die ausgezeichnete Richtung als z-Richtung bezeichnet, dann hat der Spinprojektionsoperator ŝz entsprechend der verschiedenen Möglichkeiten für die Orientierung die Eigenwerte s, s –1, …, – (s – 1), –s. Für einen gegebenen Wert s gibt es also (2s+1) Zustände des Teilchens. Der Spinzustand eines Teilchen wird daher durch eine (2s+1)-komponentige Größe bestimmt. Sie ist ein Element eines Darstellungsraums einer total symmetrischen irreduziblen Darstellung der Stufe 2s der SU(2)-Gruppe.

Das Verhalten physikalischer Systeme gegenüber der dreidimensionalen Rotationsgruppe wird dadurch beschrieben, daß man ihnen Elemente aus Darstellungsräumen dieser Gruppe zuordnet. Bei ganzzahligem Spin geht die Zustandsfunktion nach einer Rotation um 2π in sich über. Für halbzahligen Spin nimmt dagegen die Zustandsfunktion den negativen Wert und erst nach einer Rotation von 4π den Ausgangswert an. Diese Zweiwertigkeit wird durch den Übergang zu SU(2) aufgehoben.

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß für ein Teilchen mit dem Spin s = 1/2 die Größe \({\psi }^{1}{\bar{\psi }}^{1}+{\psi }^{2}{\bar{\psi }}^{2}\) als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Teilchens ein Skalar sein (ψ1, ψ2 sind die beiden ein Teilchen mit dem Spin 1/2 beschreibenden Komponenten). Daraus ergibt sich SU(2) als Transformationsgruppe.

In der relativistischen Theorie wird die genannte Wahrscheinlichkeitsdichte die Zeitkomponente eines 4-Vektors. Dadurch fällt die Unitaritäts-bedingung weg.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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