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Lexikon der Mathematik: Darstellungssatz von Stone

von Stone 1936 bewiesener Satz, daß jede Boolesche Algebra (V, ≤) isomorph zu einem Mengenkörper ist.

Ist die Boolesche Algebra (V, ≤) endlich, d. h. ist der zugrundeliegende Verband endlich, so läßt sich der im Satz von Stone angesprochene Isomorphismus leicht definieren. Man bildet (V, ≤) auf den Mengenkörper (\({\mathfrak{P}}\)(A), ⊆) ab, wobei A die Menge der Atome von V ist. Einem Element vV wird die Menge Av der Atome αV mit α ≤ v zugeordnet. Das Supremum zweier Elemente v1 und v2 von V entspricht dann der Vereinigung der Mengen Av1 und Av2, das Infimum zweier Elemente v1 und v2 dem Durchschnitt der Mengen Av1 und Av2 und das Komplement eines Elementes vV der Menge A \ Av.

Hieraus folgen einige Aussagen, die einer anschaulichen Betrachtungsweise endlicher Boolescher Algebren dienen. So besteht jede endliche Boolesche Algebra (V, ≤) aus 2m Elementen für eine geeignete nichtnegative ganze Zahl m, da die Potenzmenge \({\mathfrak{P}}\)(M) einer m-elementigen Menge M genau 2m Elementen enthält. Besteht eine endliche Boolesche Algebra (V, ≤) aus 2m Elementen, so besitzt V genau m Atome. Bei der Booleschen Algebra (\({\mathfrak{P}}\)(M), ⊆) sind dies die einelementigen Teilmengen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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