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Lexikon der Mathematik: Daubechies-Skalierungsfunktion

Skalierungsfunktion, mit deren Hilfe eine orthonormale Waveletbasis {ψj,k}j,k\({\mathbb{Z}}\) mit kompakten Träger und bestimmter Glattheit konstruiert werden kann.

Die Daubechies-Skalierungsfunktion hat ebenfalls kompakten Träger und erfüllt eine Verfeinerungsgleichung der Form

\begin{eqnarray}\phi (x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{N}{h}_{k}\phi (2x-k).\end{eqnarray}

Für den endlichen Filter \(h(\omega )={\sum }_{k=0}^{N}{h}_{k}{e}^{-ik\omega }\) gilt die Identität

\begin{eqnarray}|h(\omega ){|}^{2}+|h(\omega +\pi ){|}^{2}=2.\end{eqnarray}

Die systematische Erzeugung solcher Filter ist eine algebraische Aufgabe, deren Lösung auf den Satz von Bezout zurückgeht. Ingrid Daubechies konstruierte 1988 eine Familie von Funktionen ϕN mit den gewünschten Eigenschaften. Die Funktionen ϕN sind nicht explizit angebbar, sondern über ihre Filterkoeffizienten hk charakterisiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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