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Lexikon der Mathematik: de la Vallée Poussin, Satz von, über beste Approximation

Einschließungssatz für die Minimalabweichung bei der besten Approximation einer reellen Funktion auf einem Intervall durch Polynome oder allgemeiner Elemente eines Haarschen Raumes bzgl. der Tschebyschew-Norm. Der Satz lautet:

Es sei V ein n-dimensionaler Haarscher Raum auf dem Intervall [a, b] und f eine auf diesem Intervall stetige Funktion. v*V sei die beste Approximation an f auf [a, b] bzgl. der Tscheby-schew-Norm, und v eine beliebige Funktion aus V. Weiterhin mögen (n + 1) Punkte x1 < … < xn+1auf [a, b] existieren, in denen die Fehlerfunktion (fv) abwechselndes Vorzeichen hat:

\begin{eqnarray}\mathrm{sgn}((f-v)({x}_{v}))=-\mathrm{sgn}((f-v)({x}_{v+1}))\end{eqnarray}

für v = 1, …, n.

Dann gilt

\begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{1\le v\le n+1}|(f-v)({x}_{v})|\le \ \parallel f-v^*\parallel\le \ \parallel f-v\parallel.\end{eqnarray}

Die rechte Ungleichung ist hierbei trivial. Der Satz von de la Vallée Poussin bildet zusammen mit dem Alternantensatz die Grundlage für den Remez-Algorithmus zur numerischen Berechnung von v*.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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