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Lexikon der Mathematik: de Moivresche Formel

wichtige Formel innerhalb der Funktionentheorie, die eine Zerlegung von komplexen Zahlen der Form (cos φ + i sin φ)n in Real- und Imaginärteil liefert.

Die Formel lautet

\begin{eqnarray}{(\cos \phi +i\sin \phi )}^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \end{eqnarray}

für φ ∈ ℝ und n ∈ ℕ.

Wendet man auf die linke Seite die Binomische Formel an und trennt anschließend in Realund Imaginärteil, so erhält man Darstellungen von cos und sin als Polynom in cos φ und sin φ, z. B. \begin{eqnarray}\cos 3\varphi ={\cos }^{3}\varphi -3\cos \varphi {\sin }^{2}\varphi,\\ \sin 3\varphi =3{\cos }^{2}\varphi \sin \varphi -{\sin }^{3}\varphi.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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