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Lexikon der Mathematik: de Rham-Kohomologie

die im folgenden hergeleitete Kohomologie.

Ist X eine C-Mannigfaltigkeit und \({\wedge }_{X}^{p}\) die Garbe der Cp-Formen, so heißt

\begin{eqnarray}{\wedge }_{X}^{\bullet }=({\wedge }_{X}^{0}\underrightarrow{d}{\wedge }_{X}^{1}\underrightarrow{d}{\wedge }_{X}^{2}\cdots )\end{eqnarray}

(d die äußere Ableitung) der C-de Rham-Komplex. Es gilt d &ogr; d = 0, und

\begin{eqnarray}{H}_{DR}^{p}(X)=\text{Ker}({\wedge }_{X}^{p}(X)\to {\wedge }_{X}^{p+1}(X))/d{\wedge }_{X}^{p-1}\,(X)\end{eqnarray}

(p = 0,1, 2, …) heißt de Rham-Kohomologie von X. Für komplexe Mannigfaltigkeiten X (oder glatte algebraische Varietäten X über \({\mathbb{C}}\)) sei \({\Omega }_{X}^{1}\) der analytische (oder algebraische) de Rham-Komplex. Die sog. Hyperkohomologie dieses Komplexes ist isomorph zur de Rham-Kohomologie, sie heißt deshalb ebenfalls de Rham-Kohomologie. Zum Apparat der Hyperkohomologie gehören Spektralfolgen, die eine Verbindung der De Rham Kohomologie mit der Dolbeault-Kohomologie herstellen (Hodge-Strukturen).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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