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Lexikon der Mathematik: Dedekindsche ζ-Funktion

eine Verallgemeinerung der Riemannschen ζ-Funktion für algebraische Zahlkörper.

Die Dedekindsche ζ-Funktion des algebraischen Zahlkörpers K ist durch die Reihe

\begin{eqnarray}{\zeta }_{K}(s)=\displaystyle \sum _{a}\frac{1}{{\mathfrak{N}}{({\mathfrak{a}})}^{s}}\end{eqnarray}

definiert, wobei \({\mathfrak{a}}\) die ganzen Ideale von K durchläuft und \({\mathfrak{N}}\)(\({\mathfrak{a}}\)) ihre Absolutnorm bedeutet.

Wegen der Gleichung

\begin{eqnarray}{\zeta }_{{\mathbb{Q}}}(s)=\zeta (s)\end{eqnarray}

stellt die Dedekindsche ζ -Funktion eine Verallgemeinerung der Riemannschen ζ -Funktion dar.

Die Reihe auf der rechten Seite von (1) ist für jedes δ > 0 auf der Halbebene

\begin{eqnarray}\{s\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}\,s\ge 1+\delta \}\end{eqnarray}

absolut und gleichmäßig konvergent, und ebenso wie die Riemannsche ζ -Funktion besitzt auch die Dedekindsche ζ-Funktion eine analytische Fortsetzung auf ℂ \{1} mit einem einfachen Pol in 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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