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Lexikon der Mathematik: Dedekindscher Differentensatz

dritter Dedekindscher Hauptsatz, eines der Hauptresultate der Dedekindschen Idealtheorie:

Gegeben seien algebraische Zahlkörper

\begin{eqnarray}L\supset K\supset {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}

mit den Ganzheitsringen \({\mathcal{O}}_{L}\)und \({\mathcal{O}}_{K}\)und ein Primideal \({\mathfrak{p}}\) ≠ 0 in \({\mathcal{O}}_{L}\). Es bezeichne p die in \({\mathfrak{p}}\cap {\mathbb{Z}}\)enthaltene Primzahl und

\begin{eqnarray}e=e({\mathfrak{p}}/({\mathfrak{p}}\cap {\mathcal{O}}_{K}))\end{eqnarray}

den Verzweigungsindex von \({\mathfrak{p}}\)über \({\mathfrak{p}}\) ⋂ \({\mathcal{O}}_{K}\).

Dann gilt für den p-Exponenten der Relativdifferente \({\mathfrak{D}}\)L/K: \begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{D}}L/K)=e-1 & falls\ p\nmid{|}e,\\ {v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{D}}L/K)\gt e-1 & falls\ p|e.\end{eqnarray}Insbesondere teilt das Primideal \({\mathfrak{p}}\)die Relativdifferente \({\mathfrak{D}}\)L/K genau dann, wenn e > 1 ist.

Der Dedekindsche Differentensatz läßt sich auch in einem allgemeineren Rahmen beweisen. Er gibt mittels der Differente einer Körpererweiterung eine Möglichkeit, die Verzweigungen von Primidealen in höheren algebraischen Zahlkörpern zu verfolgen.

Eine wichtige Folgerung dieses Satzes ist der Dedekindsche Diskriminantensatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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