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Lexikon der Mathematik: Dedekindscher Diskriminantensatz

eine Folgerung aus dem Dedekindschen Differentensatz:

Gegeben seien algebraische Zahlkörper

\begin{eqnarray}L\supset K\supset {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}

mit den Ganzheitsringen \({\mathcal{O}}_{L}\)und \({\mathcal{O}}_{K}\)und ein Primideal \({\mathfrak{p}}\) ≠ 0 in \({\mathcal{O}}_{K}\)mit der eindeutigen Primzerlegung

\begin{eqnarray}{\mathfrak{p}}={{\mathfrak{P}}}_{1}^{e1}\cdots {{\mathfrak{P}}}_{g}^{eg}\end{eqnarray}

in \({\mathcal{O}}_{L}\). Sei fj der Trägheitsgrad von \({\mathfrak{P}}\)j über \({\mathfrak{p}}\) (für j = 1, …, g), und bezeichne p die Charakteristik des Körpers \({\mathcal{O}}_{K}\)/\({\mathfrak{p}}\).

Dann gilt für den \({\mathfrak{p}}\)-Exponenten der Relativdiskriminate:

\begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{d}}L/K)=\displaystyle \sum _{j=1}^{g}({e}_{j}-1){f}_{j},\end{eqnarray}

falls p \(\nmid{|}\)ej für jedes j ∈ {1, …, g}, und

\begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{d}}L/K)\gt \displaystyle \sum _{j=1}^{g}({e}_{j}-1){f}_{j},\end{eqnarray}

falls p | ej für mindestens ein j ∈ {1, …, g}.

Insbesondere ist das Primideal \({\mathfrak{p}}\)genau dann in L/K verzweigt, wenn \({\mathfrak{p}}\)ein Teiler der Diskriminante \({\mathfrak{d}}\)L/K ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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