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Lexikon der Mathematik: Definierbarkeit

Eigenschaft mathematischer Objekte (Elemente, Relationen, Funktionen), die sich mit Hilfe elementarer Sprachen eindeutig charakterisieren lassen.

Zur Präzisierung des Definierbarkeitsbegriffs sei L0 eine elementare Sprache und L eine Erweiterung von L0, d. h., zu L0 können weitere Individuen-, Relations- und Funktionszeichen hinzukommen (symbolisch L0L). Weiterhin sei Σ eine in L fomulierte Menge von Ausdrücken oder Aussagen, und ⊨ bezeichne die Folgerungsrelation.

Dann definiert man für Individuenzeichen c und n-stellige Relations- und Funktionszeichen R bzw. f aus L \ L0:

(1) c ist in Σ (explizit) definierbar, wenn es in L0 einen Ausdruck φ(x) gibt, so daß \begin{eqnarray}\Sigma \models \forall x(x=c\wedge \phi (x))\wedge {\exists }^{1}x\phi (x),\end{eqnarray}

wobei ∃1(x) besagt, daß es genau ein Element mit der Eigenschaft φ gibt.

(2) R ist in Σ (explizit) definierbar, falls es einen Ausdruck φ(x1, …, xn) in L0 gibt, so daß \begin{eqnarray}\Sigma \models \forall {x}_{1}\ldots \forall {x}_{n}(R({x}_{1},\ldots {x}_{n})\leftrightarrow \phi ({x}_{1},\ldots, {x}_{n}))\end{eqnarray}

(3) f ist in Σ (explizit) definierbar, wenn es einen (n+1)-stelligen Ausdruck φ(x1, …, xn, y) in L0 gibt, so daß \begin{eqnarray}\Sigma \models \forall {x}_{1}\ldots \forall {x}_{n}\forall y(f({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=\leftrightarrow \\ \ \ \ \phi ({x}_{1},\ldots, {x}_{n},y))\wedge \\ \ \ \ \ \forall {x}_{1}\ldots \forall {x}_{n}{\exists }^{1}y(\phi ({x}_{1},\ldots, {x}_{n},y)).\end{eqnarray}

Durch die Bedingungen (1)–(3) ist jeweils ein Zeichen aus der erweiterten Sprache L durch die Zeichen aus L0 definiert. Sind alle Zeichen aus L\L0 definierbar, dann heißt L definitorische Erweiterung von L0. Ist \({\mathscr{A}}\) eine algebraische Struktur gleicher Signatur wie L, und ersetzt man in den Bedingungen (1)–(3) jeweils Σ durch \({\mathscr{A}}\) und liest ⊨ als „gültig“, dann heißen die entsprechenden mathematischen Objekte (explizit) definierbar in der Struktur \({\mathscr{A}}\).

Ist z. B. \({\mathscr{A}}\) die geordnete Menge der natürlichen Zahlen mit Addition, dann ist die Ordnungsrelation in \({\mathscr{A}}\) durch die Addition definierbar, denn es gilt: \begin{eqnarray}{\mathscr{A}}\models \forall x\forall y(x\lt y\leftrightarrow \exists z(z\ne 0\wedge x+z=y)).\end{eqnarray}

Ist R ein n-stelliges Relationszeichen in L und Σ die Menge der Ausdrücke, die aus Σ dadurch entsteht, daß R in Σ überall durch ein neues n-stelliges Relationszeichen RL ersetzt wird, dann heißt R in Σ implizit definierbar, wenn \begin{eqnarray}\Sigma \cup \Sigma \text{'}\models \forall {x}_{1}\ldots \forall {x}_{n}(R({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\leftrightarrow \ \ R\text{'(}{x}_{\text{1}},\ldots, {x}_{\text{n}}\text{))}\text{.}\end{eqnarray}

Völlig analog ist die implizite Definierbarkeit eines Funktionszeichens in Σ definiert. Nach dem Bethschen Definierbarkeitssatz ist ein Relations-oder Funktionszeichen schon dann in Σ explizit definierbar, wenn es in Σ implizit definierbar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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