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Lexikon der Mathematik: Defuzzifizierung

Reduktion einer Fuzzy-Menge auf eine deterministische Größe.

Die Substitution einer Fuzzy-Menge durch eine α-Niveau-Linie ist eine in der Literatur häufig vorgeschlagene Defuzzifizierung. Zumeist wird aber unter Defuzzifizierung die Reduktion von Fuzzy-Mengen auf ℝ auf eine reelle Zahl, einen sogenannten Durchschnittswert oder „mittleren“ Wert, verstanden. Dies gilt insbesondere bei Anwendungen des Fuzzy-Control, wenn die unscharfe Outputgröße zu einer ausführbaren reellen Steuerungsgröße verschärft wird.

Die Literatur kennt eine Fülle von Defuzzifizierungsverfahren, die bekanntesten sind:

Die Methode des mittleren Maximums: Nur die x-Werte mit dem maximalen Zugehörigkeitsniveau werden berücksichtigt. Gibt es mehr als einen x-Wert mit maximalem Zugehörigkeitsgrad, so wird das arithmetische Mittel dieser Werte genommen.

Die Flächenhalbierungsmethode: Der deterministische Ersatzwert \({\bar{x}}_{F}\) wird so gewählt, daß ein in x errichtetes Lot die Fläche unter der Zughörigkeitsfunktion in zwei gleichgroße Teilflächen teilt, d. h. \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{{\bar{x}}_{F}}{\int }}\mu (x)dx=\displaystyle \underset{{\bar{x}}_{F}}{\overset{+\infty }{\int }}\mu (x)dx.\end{eqnarray}

Das Schwerpunktverfahren: Die x-Komponente \begin{eqnarray}{\bar{x}}_{S}=\displaystyle \frac{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x\cdot \mu (x)dx}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\mu (x)dx}\end{eqnarray} des Schwerpunktes der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion stellt den „mittleren“ Wert dar.

Eine Verallgemeinerung des Schwerpunktverfahrens ist der Vorschlag, zusätzlich einen Gewichtungsfaktor g(x) als Maß für die Bedeutung des Wertes x zu berücksichtigen: \begin{eqnarray}{\bar{x}}_{S}=\displaystyle \frac{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}g(x)\cdot \mu (x)dx}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\mu (x)dx}.\end{eqnarray}

Für trapezoide Fuzzy-Intervalle \begin{eqnarray}\tilde{M}=({m}_{1};{m}_{2};\mathop{m}\limits_{\_}+\bar{m})\end{eqnarray}

wird meistens als Durchschnittswert die Größe \begin{eqnarray}m=\displaystyle \frac{1}{4}(2{m}_{1}-\mathop{m}\limits_{\_}+2{m}_{2}+\bar{m})\end{eqnarray} verwendet.

Für Fuzzy-Intervalle des ϵ-λ-Typs \begin{eqnarray}\tilde{A}={({\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij}^{\varepsilon };{\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij}^{\lambda };{\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij};{\bar{a}}_{ij};{\bar{a}}_{ij}^{\lambda };{\bar{a}}_{ij}^{\varepsilon })}^{\lambda, \varepsilon }\end{eqnarray} kann die einfach zu handhabende Formel \begin{eqnarray}a=\frac{1}{6}({\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij}^{\varepsilon }+{\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij}^{\lambda }+{\mathop{a}\limits_{\_}}_{ij}+{\bar{a}}_{ij}+{\bar{a}}_{ij}^{\lambda }+{\bar{a}}_{ij}^{\varepsilon })\end{eqnarray}

zur Berechnung eines „mittleren“ Wertes verwendet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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