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Lexikon der Mathematik: dehnungsbeschränkte Funktion

auch Lipschitz-stetige Funktion genannt, reellwertige Funktion f (einer reellen Variablen), zu der es eine Zahl (Dehnungsschranke, Lipschitzkonstante) λ ∈ [0, ∞) gibt mit \begin{eqnarray}|f(x)-f(y)|\le \lambda |x-y|\end{eqnarray}

für alle x, y aus dem Definitionsbereich D von f.

Ersetzt man |·| durch Normen, so können Funktionen f aus einem normierten Raum (X, || · ||1) in einen anderen (Y, || · ||2) betrachtet werden. Die Bedingung lautet dann \begin{eqnarray}||f(x)-f(y)|{|}_{2}\le \lambda ||x-y|{|}_{1}\end{eqnarray}

für alle x, y aus dem Definitionsbereich D von f. Allgemeiner können zumindest noch Abbildungen aus einem metrischen Raum (R, δ1) in einen anderen (S, δ2) in betrachtet werden, wenn man die Bedingung der Form \begin{eqnarray}{\delta }_{2}(f(x),f(y))\le \lambda {\delta }_{1}(x,y)\end{eqnarray}

schreibt.

Die Betragsfunktion |·| ist dehnungsbeschränkt auf ℝ (mit Dehnungsschranke λ = 1), denn \begin{eqnarray}||x|-|y||\le |x-y| & (x,y\in {\mathbb{R}}).\end{eqnarray}

Die durch f(x) := x2 für x ∈ ℝ definierte Funktion f ist nicht dehnungsbeschränkt, da \begin{eqnarray}|f(x)-f(y)|=|x+y|\cdot |x-y|\end{eqnarray}

gilt, und |x + y| beliebig groß werden kann.

Dehnungsbeschränkte Funktionen sind gleichmäßig stetig. Differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung sind dehnungsbeschränkt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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