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Lexikon der Mathematik: derivierte Kategorie

abgeleitete Kategorie, eine aus einer abelschen Kategorie \({\mathscr{A}}\) durch folgenden zweistufigen Prozeß abgeleitete Kategorie \({\mathscr{D}}({\mathscr{A}})\).

Im ersten Schritt bildet man die Kategorie \({\mathscr{K}}({\mathscr{A}})\) der Komplexe. Deren Objekte bestehen aus den Komplexen von Morphismen. Die Homotopieklassen von Komplexmorphismen sind die Morphismen.

Im zweiten Schritt wird die Kategorie \({\mathscr{D}}({\mathscr{A}})\) durch Lokalisierung von \({\mathscr{K}}({\mathscr{A}})\) nach den Quasiisomorphismen gebildet. Hierbei ist ein Quasiisomorphismus ein Morphismus in \({\mathscr{K}}({\mathscr{A}})\), der einen Isomorphismus auf den Kohomologiegruppen der Komplexe induziert. Die Kategorie \({\mathscr{D}}({\mathscr{A}})\) besitzt als Objekte dieselben Objekte wie \({\mathscr{K}}({\mathscr{A}})\). Die Quasiisomorphismen sind jedoch Isomorphismen in dieser Kategorie. Im allgemeinen sind weder \({\mathscr{K}}({\mathscr{A}})\) noch \({\mathscr{D}}({\mathscr{A}})\) abelsche Kategorien. Sie sind jedoch sog. triangulierte Kategorien.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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