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Lexikon der Mathematik: Desarguessche Geometrie

Geometrie des Desarguesschen Raumes.

Ein Desarguesscher Raum R ist ein geodätischer Raum, der topologisch so in den projektiven Raum ℙn abgebildet werden kann, daß das Bild einer jeden geodätischen Linie aus R eine Gerade von ℙn ist. Damit ein Raum R ein Desarguesscher Raum ist, sind die folgenden drei Bedingungen notwendig und hinreichend:

  • Zu zwei voneinander verschiedenen Punkten gibt es genau eine geodätische Linie.
  • Falls R die Dimension 2 besitzt, so müssen die Desarguessche Annahme (auch bekannt als Satz von Desargues, siehe unten) sowie deren Umkehrung erfüllt sein.
  • Falls dim R > 2 gilt, müssen drei beliebige Punkte von R in einem zweidimensionalen Teilraum (einer Ebene) von ℝ liegen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Desarguessche Geometrie
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Desarguessche Annahme, manchmal auch als Satz von Desargues bezeichnet, lautet:

Gehen die Verbindungsgeraden A1A2, B1B2und C1C2einander entsprechender Ecken zweier Dreiecke ΔA1B1C1und ΔA2B2C2durch einen gemeinsamen Schnittpunkt S, so liegen die Schnittpunkte A = B1C1B2C2, B = C1A1C2A2und C = A1B1A2B2entsprechender Seiten auf einer Geraden (der Desuargesschen Geraden s).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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