Geometrie des Desarguesschen Raumes.

Ein Desarguesscher Raum R ist ein geodätischer Raum, der topologisch so in den projektiven Raum ℙ_n abgebildet werden kann, daß das Bild einer jeden geodätischen Linie aus R eine Gerade von ℙ_n ist. Damit ein Raum R ein Desarguesscher Raum ist, sind die folgenden drei Bedingungen notwendig und hinreichend:

• Zu zwei voneinander verschiedenen Punkten gibt es genau eine geodätische Linie.
• Falls R die Dimension 2 besitzt, so müssen die Desarguessche Annahme (auch bekannt als Satz von Desargues, siehe unten) sowie deren Umkehrung erfüllt sein.
• Falls dim R > 2 gilt, müssen drei beliebige Punkte von R in einem zweidimensionalen Teilraum (einer Ebene) von ℝ liegen.

Die Desarguessche Annahme, manchmal auch als Satz von Desargues bezeichnet, lautet:

Gehen die Verbindungsgeraden A₁A₂, B₁B₂und C₁C₂einander entsprechender Ecken zweier Dreiecke ΔA₁B₁C₁und ΔA₂B₂C₂durch einen gemeinsamen Schnittpunkt S, so liegen die Schnittpunkte A = B₁C₁ ∩ B₂C₂, B = C₁A₁ ∩ C₂A₂und C = A₁B₁ ∩ A₂B₂entsprechender Seiten auf einer Geraden (der Desuargesschen Geraden s).