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Lexikon der Mathematik: Deszendenzmethode

eine auf Fermat zurückgehende Beweismethode zur Untersuchung von Fragen über diophantische Gleichungen.

Fermat bemerkte in einer Randnotiz neben Problem 20 aus dem sechsten Buch von Diophants Arithmetika, daß es kein Pythagoräisches Dreieck gäbe, dessen Fläche eine Quadratzahl sei. Dies ist äquivalent zu der Behauptung, die diophantische Gleichung \begin{eqnarray}{X}^{4}-{Y}^{4}={Z}^{2}\end{eqnarray}

habe keine ganzzahlige Lösung mit X, Y, Z > 0. Im Jahr 1659 schrieb Fermat in einem Brief an De Carcavi: „Da die Methoden in der Literatur für den Beweis so schwieriger Sätze nicht ausreichen, fand ich schließlich einen ganz und gar einzigartigen Weg. Ich nannte diese Beweismethode la descente infinie... “.

Fermats Idee ist folgende: Ist durch X, Y, Z eine Lösung von (1) in natürlichen Zahlen gegeben, so konstruiert man daraus eine weitere Lösung X1, Y1, Z1 aus natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}0\lt {Z}_{1}\lt Z.\end{eqnarray}

D.h., ein „Abstieg“ (Deszendenz) von einer Lösung zu einer kleineren ist stets durchführbar. Wenn es eine Lösung von (1) aus natürlichen Zahlen gäbe, gäbe es auch eine mit kleinstmöglichem Z. Steigt man von dieser Lösung weiter ab, so käme man zu einer noch kleineren, was der Minimalität von Z widerspräche. Also gibt es keine Lösung von (1) aus natürlichen Zahlen X, Y, Z.

Die Deszendenzmethode hat sich bei zahlreichen Fragen im Zusammenhang mit diophantischen Gleichungen als äußerst nützlich erwiesen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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