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Lexikon der Mathematik: Determinante einer Matrix

Abbildung (bzw. Wert dieser Abbildung), die jeder quadratischen Matrix eine Zahl aus dem Grundkörper zuordnet.

Es gibt in der Literatur eine Vielzahl von Zugängen zum Determinantenbegriff. Eine Möglichkeit ist, die Determinante einer Matrix zu definieren als die durch die Eigenschaften (1), (2) und (3) eindeutig bestimmte Abbildung \begin{eqnarray}\det :M((n\times n),{\mathbb{K}})\to {\mathbb{K}};A\mapsto \det A\end{eqnarray} von der Menge der quadratischen (n × n)-Matrizen über 𝕂 in 𝕂: \begin{eqnarray}\text{det ist linear in jeder Zeile,}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\text{Rg}A\lt n\Rightarrow \det A=0,\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\det I=1,\end{eqnarray} wobei I die (n × n)-Einheitsmatrix und Rg den Rang einer Matrix bezeichnet.

Der Ausdruck „linear in der i-ten Zeile“ bedeutet dabei, daß für alle Zeilenvektoren a1, …, ai−1, ai+1, an ∈ Kn die Abbildung \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ \vdots \\ {a}_{i-1}\\ v\\ {a}_{i+1}\\ \vdots \\ {a}_{n}\end{array}\right)\to \det \,\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ \vdots \\ {a}_{i-1}\\ v\\ {a}_{i+1}\\ \vdots \\ {a}_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray} von 𝕂n nach 𝕂 linear ist. Diese axiomatische Definition geht auf Weierstraß zurück.

Die Determinante der (n × n)-Matrix A = ((aij)) wird häufig bezeichnet mit \begin{eqnarray}\left|\begin{array}{a}_{11} & {a}_{12} & \ldots & {a}_{1n}\\ {a}_{21} & {a}_{22} & \ldots & {a}_{2n}\\ \vdots & & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \ldots & {a}_{nn}\end{array}\right|,\end{eqnarray} was zum Ausdruck bringen soll, daß es sich bei der Determinante in gewissen Sinn um ein Maß für die Größe der Matrix handelt. Diese Notation ist allerdings wegen ihrer Ähnlichkeit mit dem Betragszeichen gefährlich.

Die Determinantenabbildung ist multiplikativ; dies ist der Inhalt des folgenden Determinanten-Multiplikationssatzes:

Sind A und B zwei (n × n)-Matrizen über 𝕂, so gilt: \begin{eqnarray}\det AB=\det A\cdot \det B\end{eqnarray}d. h., die Determinante eines Produktes zweier (n × n)-Matrizen A und B ergibt sich als Produkt der beiden Determinanten.

Die Determinante der Inversen A−1 einer regulären Matrix A ergibt sich daher durch: \begin{eqnarray}\det {A}^{-1}=\frac{1}{\det A}.\end{eqnarray}

Weitere Eigenschaften der Determinantenabbildung det : M((n × n), 𝕂) → 𝕂 sind:

  • Beim Vertauschen zweier Zeilen von A ändert det das Vorzeichen.
  • Addition des λ-fachen (λ ∈ 𝕂) der i-ten Zeile zur j-ten Zeile (ij) verändert den Wert von det nicht.
  • Transponieren von A ändert den Wert von det nicht.

Die Determinante einer (r × r)-Untermatrix einer (n × n)-Matrix A (d. h. einer Matrix die durch Streichen von (nr) Zeilen und (nr) Spalten von A entsteht) wird als r-reihige Unterdeterminate von A bezeichnet.

Eine zur oben gegebenen äquivalente Definition der Determinante ist die folgende: Für A = ((aij)) gilt \begin{eqnarray}\det A=\displaystyle \sum _{\sigma }(\mathrm{sgn}\sigma ){a}_{1{\sigma }_{1}}{a}_{2{\sigma }_{2}}\cdots {a}_{n{\sigma }_{n}},\end{eqnarray} wobei σ = (σ1, …, σn) alle Permutationen der Indexmenge durchläuft.

Es existiert eine ganze Reihe von Determinantenberechnungsmöglichkeiten, für die wir auf das Stichwort Determinantenberechnung verweisen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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