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Lexikon der Mathematik: Determiniertheitsaxiom

AD, Axiom der axiomatischen Mengenlehre, das die Determiniertheit bestimmter Spiele fordert.

Ist A eine Menge von Abbildungen von ℕ nach ℕ, d. h., A ⊆ ℕ, so wird in Abhängigkeit von A das folgende unendliche Spiel definiert: Spieler I und Spieler II wählen abwechselnd natürliche Zahlen mi und ni, i = 1, 2, … . Ist die sich ergebende Folge (m1, n1, m2, n2, …) ein Element von A, so gewinnt I, andernfalls gewinnt II.

Eine Funktion \begin{eqnarray}\sigma :\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\rm{{\mathbb{N}}}}}{{\rm{{\mathbb{N}}}}}^{n}\to {\rm{{\mathbb{N}}}}\end{eqnarray}

heißt Strategie. Spielt z. B. I gemäß der Folge m := (m1, m2, …) und II gemäß der Strategie σ, so ist das Ergebnis die Folge \begin{eqnarray}\sigma * m:=({m}_{1,}\sigma (({m}_{1})),{m}_{2},\sigma (({m}_{1},{m}_{2})),\ldots ).\end{eqnarray}

Eine Strategie σ heißt Gewinnstrategie für II genau dann, wenn für jede Spielfolge m von I das Ergebnis σm in A liegt. Die Definition der Gewinnstrategie für I ist entsprechend.

Beispiele:

  1. Für A = ℕ ist jede Strategie eine Gewinnstrategie für I; für A = ∅ ist jede Strategie eine Gewinnstrategie für II.
  2. Ist A eine endliche Menge, so hat II eine Gewinnstrategie, da n1 so gewählt werden kann, daß (m1, n1, …) ∉ A.
  3. Ist A die Menge der Folgen, die an der ersten Stelle eine 1 stehen haben, so hat I eine Gewinnstrategie; ist A hingegen die Menge der Folgen, die an der zweiten Stelle eine 1 stehen haben, so hat II eine Gewinnstrategie.
  4. Ist A die Menge der Folgen (an)n∈ℕ, für die für alle k ∈ ℕ gilt, daß a2k + a2k+1 gerade ist, so hat I eine Gewinnstrategie.
  5. Ist A die Menge der schließlich konstanten Folgen, so hat II eine Gewinnstrategie.

Das Determiniertheitsaxiom besagt: (AD) Für jede Menge A ⊆ ℕ hat entweder I oder II eine Gewinnstrategie.

Das Determiniertheitsaxiom ist für die beschreibende Mengenlehre von Bedeutung. Seine Konsistenz mit ZF ist zur Zeit jedoch nicht gesichert.

Einige Konsequenzen des Determiniertheitsaxioms auf der Basis von ZF sind:

  • Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist Lebesgue-meßbar, d. h., insbesondere gilt das Auswahl-axiom nicht !
  • Es gilt eine Abschwächung des Auswahlaxioms: Ist \({\mathscr{M}}\) eine abzählbare Menge nichtleerer Teilmengen von ℝ, so gibt es zu \({\mathscr{M}}\) eine Auswahlfunktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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