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Lexikon der Mathematik: Deterministisches Modell der Lebensversicherungsmathematik

ein klassisches Modell der Versicherungsmathematik.

Man geht bei diesem Modell, das seit dem 18. Jahrhundert verwendet wird, von einem Kollektiv gleichaltriger Leben aus: lx bezeichnet die Anzahl der Lebenden, die das Alter x erreichen, dx = lxlx+1 die Zahl der zwischen dem Alter x und x + 1 Sterbenden.

Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte werden durch Prozentzahlen ersetzt: \begin{eqnarray}t{p}_{x}=\frac{{l}_{x+t}}{{l}_{x}}\end{eqnarray}

ist der Bruchteil der im Alter x Lebenden, die das Alter x + t erreichen, tpx wird auch t-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x-jährigen genannt, die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-jährigen ist danach durch \({q}_{x}=\frac{{d}_{x}}{{l}_{x}}\) gegeben. Analog würde man die t-jährige Ausscheidewahrscheinlichkeit berechnen.

Die Tabelle der qx, 0 ≤ qxω (früher meist ω = 85, heute meist ω = 100 oder 110) nennt man eine Sterbetafel. \begin{eqnarray}{e}_{x}:=\frac{{l}_{x}+{l}_{x+1}+\cdot \cdot \cdot }{{l}_{x}}\end{eqnarray} wird in diesem Modell als durchschnittliche Lebenserwartung eines x-jährigen interpretiert. Für eine einjährige reine Todesfallversicherung mit der Risikosumme S beträgt dann die Risikoprämie qxS. Berücksichtigt man noch Zinsen, so lassen sich mit diesen biometrischen Daten Barwerte berechnen. So beträgt z. B. der Leibrentenbarwert einer lebenslänglichen Leibrente für eine Person des Alters x mit konstanten jährlich vorschüssig gezahlten Renten der Höhe 1 : \begin{eqnarray}{\text{\ddot{a}}}_{x}:=\frac{{l}_{x}+v{l}_{x+1}+{v}^{2}{l}_{x+2}+\cdot \cdot \cdot }{{l}_{x}}\end{eqnarray} dabei bezeichnet \(v=\frac{1}{1+i}\) den Diskontierungsfaktor zum Zinsfuß i und 1 + i den Aufzinsungsfaktor für ein Jahr. Mit den sogenannten Kommutationszahlen \begin{eqnarray}{D}_{x}:={v}^{x}{l}_{x},{N}_{x}:={D}_{x}+{D}_{x+1}+{D}_{x+2}+\cdot \cdot \cdot +{D}_{\omega }\end{eqnarray} läßt sich der oben angegebene Leibrentenbarwert berechnen zu \({\text{\ddot{a}}}_{x}=\frac{{N}_{x}}{{D}_{x}}.\).

In ähnlich einfacher Weise lassen sich kompliziertere Barwerte bzw. versicherungstechnische Größen, z. B. Deckungsrückstellungen, mittels Kommutationswerten berechnen. Der Vorteil des Berechnungsverfahrens mittels tabellierter Kommutationswerte lag in der Vergangenheit ähnlich wie bei der Verwendung von Logarithmentafeln in der schnellen Berechenbarkeit von Beiträgen, Risikoprämien und Deckungsrückstellungen bei Personenversicherungen.

Beispielsweise beträgt die Netto-Einmalprämie einer n-jährigen Todesfallversicherung für einen x-jährigen bei der Versicherungssumme 1: \begin{eqnarray}{|}_{n}{A}_{x}=\frac{{M}_{x}-{M}_{x+n}}{{D}_{x}}\end{eqnarray}

mit den Kommutationszahlen \begin{eqnarray}{M}_{x}:={C}_{x}+{C}_{x+1}+\cdot \cdot \cdot +{C}_{\omega },\end{eqnarray}

Cx := vx+1dx.

Ein zweites Beispiel wurde oben bereits dargestellt, und zwar für eine Erlebensfallversicherung: Der Netto-Einmalbeitrag für eine lebenslängliche Rente einer Person des Alters x beträgt \({\text{\ddot{a}}}_{x}=\frac{{N}_{x}}{{D}_{x}}.\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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