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Lexikon der Mathematik: diagonalisierbar

Eigenschaft eines Endomorphismus bzw. der zugehörigen quadratischen Matrix, oder allgemeiner eines Operators.

Im ersten Falle ist es die Bezeichnung für einen Endomorphismus f : VV auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V, zu dem eine aus Eigenvektoren von f bestehende Basis von V existiert. Bezüglich einer solchen Basis besitzt die f darstellende Matrix A Diagonalgestalt (Diagonal-matrix), d. h. außerhalb der Hauptdiagonalen stehen nur Nullen; die Diagonalelemente von A sind gerade die Eigenwerte von f.

Der Endomorphismus f ist genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der Dimensionen seiner Eigenräume gleich dim V ist.

Äquivalent hierzu sind folgende Aussagen:

  1. Das charakteristische Polynom von f zerfällt in Linearfaktoren.
  2. Die Dimensionen der einzelnen Eigenräume sind gleich den Vielfachheiten der entsprechenden Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eine quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. falls eine reguläre Matrix B existiert, so daß B−1AB Diagonalgestalt hat (Diagonalisierung). Dabei ist B eine Matrix, deren Spalten n linear unabhängige Eigenvektoren von A darstellen.

Einen Operator auf einem Hilbertraum, der zu einem Multiplikationsoperator unitär äquivalent ist, bezeichnet man als diagonalisierbaren Operator. Nach dem Spektralsatz ist das für jeden normalen Operator der Fall.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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