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Lexikon der Mathematik: Differente einer Körpererweiterung

im Zusammenhang mit einer Körpererweiterung auftretendes Ideal.

Gegeben seien eine endliche, separable Körpererweiterung L/K, ein Dedekindscher Ring \({{\mathscr{O}}}_{K}\) ⊂ K mit K als Quotientenkörper und \({{\mathscr{O}}}_{L}\) als ganzem Abschluß in L. Die Differente oder Relativdifferente der Körpererweiterung L/K ist das ganze Ideal \begin{eqnarray}{D}_{L/K}={({{\mathscr{O}}}_{L}^{* })}^{-1},\end{eqnarray} wobei \({{\mathscr{O}}}_{L}^{* }\) den Dedekindschen Komplementärmodul bezeichnet und das Inverse in der Gruppe der gebrochenen Ideale gebildet wird.

Man kann zeigen, daß die Differente einer Körpererweiterung wieder ein ganzes Ideal ist. Der klassische Spezialfall ist derjenige, wo K und L algebraische Zahlkörper und \({{\mathscr{O}}}_{K}\) und \({{\mathscr{O}}}_{L}\) die zugehörigen Ganzheitsringe sind.

Der Name Differente erklärt sich aus dem im sog. zweiten Dedekindschen Hauptsatz gegebenen Zusammenhang zwischen der Differente einer Körpererweiterung und der Differente eines Elements.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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