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Lexikon der Mathematik: Differente eines Elements

im Zusammenhang mit einer Körpererweiterung auftretende Größe, i.w. die Ableitung des Minimalpolynoms.

Es seien L/K eine endliche, separable Körpererweiterung, \({{\mathscr{O}}}_{K}\) ⊂ K ein Dedekindscher Ring mit Quotientenkörper K, \({{\mathscr{O}}}_{L}\) der ganze Abschluß von \({{\mathscr{O}}}_{K}\) in L, und schließlich α ∈ \({{\mathscr{O}}}_{L}\). Die Differente oder Zahldifferente des Elements α ist dann definiert durch \begin{eqnarray}{\delta }_{L/K}(\alpha )=\left\{\begin{array}{ll}{f}^{^{\prime} }(\alpha ) & \text{falls}\ L=K(\alpha ),\\ 0 & \text{falls}\ L\ne K(\alpha ),\end{array}\right.\end{eqnarray} wobei f(x) ∈ \({{\mathscr{O}}}_{K}[x]\) das Minimalpolynom von α und f′ dessen Ableitung bezeichnet.

Der klassische Spezialfall liegt dann vor, wenn K und L algebraische Zahlkörper sind und αL eine ganze algebraische Zahl ist.

Der Name Differente stammt von Dedekind; er erinnert an „Differential“, gemeint ist die Ableitung des durch α eindeutig bestimmten Minimalpolynoms.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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