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Lexikon der Mathematik: Differentialgleichung mit nacheilendem Argument

Differentialgleichung mit retardiertem Argument, Differentialgleichung der Form \begin{eqnarray}{y}^{^{\prime} }(x)=f(x,y(x-\tau (x))) & (x\in J).\end{eqnarray}

Dabei seien ξ, a, b ∈ ℝ, a > 0, b > 0 und τ eine in J := [ξ, ξ + a] stetige Funktion mit 0 ≦ τ (x) ≦ b. Als „Anfangswerte“ muß die Funktion y im Intervall J := [ξb, ξ] bekannt sein. Ansonsten wäre die rechte Seite möglicherweise nicht definiert. Die Anfangsbedingung lautet also \begin{eqnarray}y(x)=\phi (x)\text{f}\ddot{u}\text{r}\ x\in {J}_{\_}\end{eqnarray} mit einer gegebenen Funktion φ.

y(· − τ (·)) wird als nacheilendes Argument der Differentialgleichung bezeichnet.

Sei f im Streifen S := J × ℝ stetig, τ mit 0 ≤ τ (x) ≤ b (xJ) in J stetig, φ in J stetig. Dann gilt:

  • Ist τ (x) > 0 in J, dann existiert genau eine Lösung.
  • Genügt f in S einer Lipschitzbedingung \begin{eqnarray}|f(x,y)-f(x,z)|\le L|y-z|\end{eqnarray} mit L ≥ 0, dann existiert genau eine Lösung, die sich durch sukzessive Approximation gewinnen läßt.
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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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