im univariaten Fall Bezeichnung für die Abbildung \begin{eqnarray}\text{:}\ {C}^{1}[a,b]\to C[a,b],\end{eqnarray}

die jeder Funktion f ∈ C¹[a, b] ihre Ableitung f′ ∈ C[a, b] zuordnet, wobei [a, b] ⊂ ℝ sei. Die Konstantenregel und die Summenregel (Differentiationsregeln) zeigen, daß der Differentialoperator linear ist. Versieht man C¹[a, b] mit der Norm ∥ · ∥_C¹ und C[a, b] mit der Norm ∥ · ∥_∞, dann ist 𝔻 stetig mit \begin{eqnarray}||\text{D||}\le \text{1}\text{.}\end{eqnarray}

Allgemeiner kann man für beschränkte offene G ⊂ ℝⁿ und k ∈ ℕ die Banachräume C^k(\((\bar{G})\)) betrachten und die partiellen Differentialoperatoren \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|\alpha |\le k}{\varphi }_{\alpha }{\text{D}}^{\alpha }:{C}^{k}(\bar{G})\to C(\bar{G}),\end{eqnarray}

wobei |α|= α₁ +···+ α_n sei für einen Multiindex α = (α₁, …, α_n) ∈ \({{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}^{n}\), \begin{eqnarray}{\text{D}}^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{{\alpha }_{1}}\cdots {\partial }^{{\alpha }_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}f\end{eqnarray} und ϕ_α ∈ C\((\bar{G})\). Auch diese Differentialoperatoren sind linear und stetig. Noch weitergehende Verallgemeinerungen (Abstrahierungen) des Begriffs Differentialoperator sind ebenfalls gebräuchlich.