Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Differentialoperator

im univariaten Fall Bezeichnung für die Abbildung \begin{eqnarray}\text{:}\ {C}^{1}[a,b]\to C[a,b],\end{eqnarray}

die jeder Funktion fC1[a, b] ihre Ableitung f′ ∈ C[a, b] zuordnet, wobei [a, b] ⊂ ℝ sei. Die Konstantenregel und die Summenregel (Differentiationsregeln) zeigen, daß der Differentialoperator linear ist. Versieht man C1[a, b] mit der Norm ∥ · ∥C1 und C[a, b] mit der Norm ∥ · ∥, dann ist 𝔻 stetig mit \begin{eqnarray}||\text{D||}\le \text{1}\text{.}\end{eqnarray}

Allgemeiner kann man für beschränkte offene G ⊂ ℝn und k ∈ ℕ die Banachräume Ck(\((\bar{G})\)) betrachten und die partiellen Differentialoperatoren \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|\alpha |\le k}{\varphi }_{\alpha }{\text{D}}^{\alpha }:{C}^{k}(\bar{G})\to C(\bar{G}),\end{eqnarray}

wobei |α|= α1 +···+ αn sei für einen Multiindex α = (α1, …, αn) ∈ \({{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}^{n}\), \begin{eqnarray}{\text{D}}^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{{\alpha }_{1}}\cdots {\partial }^{{\alpha }_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}f\end{eqnarray} und ϕαC\((\bar{G})\). Auch diese Differentialoperatoren sind linear und stetig. Noch weitergehende Verallgemeinerungen (Abstrahierungen) des Begriffs Differentialoperator sind ebenfalls gebräuchlich.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos