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Lexikon der Mathematik: Differentialungleichung

Ungleichung, in der eine zu bestimmende Funktion und ihre Ableitungen auftreten. Zum Anfangswertproblem erster Ordnung \begin{eqnarray}{y}^{^{\prime} }=f(x,y), & y({x}_{0})={y}_{0}\end{eqnarray} mit stetigem f : G → ℝ, G ⊂ ℝ2 Gebiet und (x0, y0) ∈ G, betrachtet man die Differentialungleichung \begin{eqnarray}{u}^{^{\prime} }\lt f(x,u)\text{}\, \text{}\ u({x}_{0})\lt {y}_{0}.\end{eqnarray}

Ist y : I → ℝ mit I := [x0, x0 + a) Lösung von (1) und u : I → ℝ eine Lösung von (2), dann gilt \begin{eqnarray}u(x)\lt y(x)\end{eqnarray}

für xI. Lösungen von (2) heißen Unterfunktionen. Damit ist also eine Abschätzung nach unten für Lösungen von (1) gegeben. Eine analoge Aussage gilt für Abschätzungen nach oben, wobei die Lösungen von (2) dann Oberfunktionen heißen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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