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Lexikon der Mathematik: Differentiation der elementaren Funktionen

ist etwa möglich durch Untersuchen der Konvergenz des Differenzenquotienten \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) für D \{a} ∋ xa für eine auf D ⊂ ℝ definierte Funktion f : D → ℝ, durch Differentiation von Potenzreihen oder, bei den inversen Funktionen, durch Anwenden der Regel zur Differentiation der Umkehrfunktion.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Differentiation der elementaren Funktionen
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Für a ∈ ℝ und x ∈ ℝ \{a} gilt z. B. \begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{x}^{n}-{a}^{n}}{x-a} & = & \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{x}^{n-k}{a}^{k-1}\\ & \to & \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}^{n-1}=n{a}^{n-1}\end{eqnarray}

für xa, für die Funktion f : ℝ → ℝ, xxn ist also f′(a) = nan−1 für a ∈ ℝ, woraus man durch gliedweise Differentiation auch die Ableitung von Polynomen erhält.

Die Differentiation weiterer aus elementaren Funktionen zusammengesetzter Funktionen und das Bestimmen höherer Ableitungen ist durch Anwenden der Differentiationsregeln auf die Ableitungen einer ganzen Reihe von elementaren Funktionen möglich, die in einer Tabelle zusammengestellt sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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