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Lexikon der Mathematik: Differentiation der Summenfunktion einer Reihe

von Gaston Darboux im Jahre 1875 gefundener Satz, der besagt, daß die Summenfunktion einer Reihe differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist und man die Ableitung durch gliedweises Differenzieren erhält, wenn die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert.

Genauer gilt:

Es sei −∞ < a < b < ∞. Sind für n ∈ ℕ die Funktionen fn : [a, b] → ℝ differenzierbar, und ist f : [a, b] → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{f}_{n}(x)\end{eqnarray}für x ∈ [a, b] und φ : [a, b] → ℝ mit \begin{eqnarray}\phi (x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{f}^{^{\prime} }}_{n}(x)\end{eqnarray}

gleichmäßig für x ∈ [a, b], dann ist f differenzierbar und es gilt f′ = ϕ.

Der Satz von Darboux folgt aus dem Satz über die Differentiation der Grenzfunktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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