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Lexikon der Mathematik: Differentiation impliziter Funktionen

ist mit Hilfe partieller Ableitungen möglich unter folgenden Voraussetzungen, die etwas schwächer sind als diejenigen des Satzes über implizite Funktionen:

Es seien X ⊂ ℝp und Y ⊂ ℝq nicht-leere offene Mengen, sowie x0X und y0Y. Die Funktion F : X × Y → ℝq sei differenzierbar in (x0, y0) und erfülle F(x0, y0) = 0. Schließlich sei die (q × q)-Matrix \begin{eqnarray}\frac{\partial F}{\partial y}({x}_{0},{y}_{0})\end{eqnarray} der partiellen Ableitungen invertierbar.

Gibt es dann Umgebungen UX von x0 und VY von y0 und eine stetige Funktion f : UV mit f(x0) = y0 und \begin{eqnarray}F(x,f(x))=0\end{eqnarray}

für xU (dies ist nach dem Satz über implizite Funktionen bei stetig differenzierbarem F der Fall), dann ist f an der Stelle x0 differenzierbar mit \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }({x}_{0})=-{\left(\frac{\partial F}{\partial y}({x}_{0},{y}_{0})\right)}^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}({x}_{0},{y}_{0}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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