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Lexikon der Mathematik: Differentiation

das Bilden der Ableitung einer Funktion.

Ist f : (a, b) → ℝ eine Funktion und x0 ∈ (a, b), so heißt f differenzierbar in x0, falls der Grenzwert \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }({x}_{0})=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}\end{eqnarray}

existiert. Die Berechnung der Ableitung f′ heißt dann Differentiation. Für diesen fundamentalen Prozeß hat man eine ganze Reihe von in man-chen Situationen hilfreichen Regeln (Differentiationsregeln, Kettenregel) und Sätzen gefunden, die wir unter separaten Stichworteinträgen abhandeln. Man vergleiche etwa Differentiation der elementaren Funktionen, Differentiation der Summenfunktion einer Reihe, Differentiation der Umkehrfunktion, Differentiation der Grenzfunktion, Differentiation impliziter Funktionen, Differentiation von Potenzreihen.

Ist dagegen U ⊆ ℝn offen und f = (f1, …, fm) : U → ℝm eine Abbildung, so heißt f differenzierbar in einem Punkt x0U, falls es eine (m × n)-Matrix Df(x0) und eine Restfunktion R(x) gibt, so daß gilt: \begin{eqnarray}f(x)=f({x}_{0})+Df({x}_{0})\cdot (x-{x}_{0})+||x-{x}_{0}||\cdot R(x)\end{eqnarray}

und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}}R(x)=0.\). In diesem Fall heißt Df(x0) die Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von f im Punkt x0. Man nennt dann die Berechnung der Funktionalmatrix Differentiation.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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